MATEMATICIANUL
MIHAIL POPA LA
CEAS DE GLORIE
130 de ani de zbucium pentru soluţionarea problemei lui Poincaré
Din istoria matematicii
A vorbi despre matematică sau despre matematicieni este o provocare cu riscul de a rămâne neînţeles sau chiar respins din start. Ne-am propus acest lucru, noi, semnatarii materialului, să prezentăm unele informaţii cât mai accesibil pentru cititorii noştri cu un nivel înalt de instruire, cu atât mai mult că în viaţa matematicienilor de la Chişinău, şi nu numai, s-a produs un eveniment extraordinar, la care astăzi ne vom referi.
De mult au apus vremurile când disciplinele de cercetare încă nu erau constituite strict, iar dialogul dintre reprezentanţii lor era un mod normal de existenţă şi colaborare. Dar secolul al XIX-lea a adus civilizaţiei umane mai multe descoperiri surprinzătoare. O mare parte dintre ele constituie rezultatul analizei logice a fenomenelor sau a celei matematice: Gauss a descoperit prin calcul asteroizii Ceres, Palass, Vesta, Iunona; Galle, de asemenea, în baza calculelor a identificat planeta Neptun (1846); Mendeleev, pornind de la masa atomică, a sistematizat elementele chimice şi a anticipat existenţa a multora noi; Schliemann, în baza descrierilor lui Homer a determinat locul amplasării Troiei etc. Anume cercetările matematice au contribuit la rezolvarea unui şir de probleme, care a frământat minţile savanţilor timp de aproape 2500 de ani, începând cu Platon, Aristotel, Euclid, Arhimede, precum şi la crearea a noi discipline în domeniu.
La începutul secolului al XX-lea matematica a proliferat într-atât, încât ea s-a transformat, vorbind la figurat, într-un Regat al Universului Ştiinţei, deşi acest cuvânt din greacă înseamnă „învăţare”, „studiu”, „ştiinţă”. Considerăm incontestabil faptul că ştiinţa este şi o artă, o artă a profunzimii şi a forţei cugetului uman. Puţin mai înainte, în sec. al XIX-lea, genialul matematician francez Henri Poincaré (1854-1912) a creat noi domenii de cercetare ca topologia, teoria calitativă a sistemelor dinamice etc. A formulat o serie de probleme, soluţionarea cărora determină dezvoltarea în continuare a ştiinţei. Una din problemele faimoase ale teoriei calitative a ecuaţiilor diferenţiale este „Problema Centrului şi a Focarului”, formulată de Poincaré cu 130 de ani în urmă, varianta generalizată a căreia a fost rezolvată recent de către matematicianul moldovean, profesorul universitar Mihail Popa, cercetător ştiinţific principal al Institutului de Matematică şi Informatică (IMI) al AŞM, personalitate excepţională a lumii academice, fondator al şcolii ştiinţifice Algebrele Lie şi sisteme diferenţiale.
Profesorul Mihail Popa pe parcursul a mai bine de 40 de ani a demonstrat calităţi de talentat savant şi organizator al cercetărilor ştiinţifice. A ocupat funcţiile administrative de secretar ştiinţific (1980-1999), director-adjunct (1999-2006) şi director al Institutului de Matematică şi Informatică al ASM (2006-2010). În urma expirării termenului de director al IMI de la 1 aprilie 2010 este angajat în calitate de cercetător ştiinţific principal în Laboratorul ecuaţii diferenţiale.
A fost şi rămâne conducător al diferitor proiecte ştiinţifice. Este preşedinte al Comisiei metodice „Matematică Teoretică”, membru al Consiliului ştiinţific al IMI, membru al colegiilor de redacţie ale revistelor „Buletinul Academiei de Ştiinţe al Republicii Moldova. Matematica” şi “ROMAI Journal” (România). A fost remarcat şi în calitate de vicepreşedinte al Comisiei de experţi în matematică a CNAA, profesor invitat la Universitatea din Limoges (Franţa). Începând cu anul 1996, dl Mihail Popa ţine permanent cursuri opţionale pentru studenţii de la Universitatea de Stat din Tiraspol cu sediul la Chişinău, unde a fost ales prin concurs profesor universitar. În cadrul acestei instituţii de educaţie, a organizat în 2002 Seminarul ştiinţific ”Ecuaţii diferenţiale şi algebre” pentru profesori, masteranzi şi doctoranzi, care contribuie esenţial la crearea unui mediu favorabil inovării şi adaptabilităţii în învăţământul matematic.
„După cum ştiinţa adună toate legile împreună, aşa ea adună şi inimile împreună”
Aceste cuvinte îi aparţin marelui savant francez Henri Poincaré, la învăţătura căruia astăzi ne vom mai referi. Cunoaştem, de asemenea, cu toţii că ştiinţa are un caracter internaţional – istoria ei reprezintă cronica descoperirilor geniale, întemeiate pe ideile predecesorilor. În acest sens, Isaac Newton i-a scris în 1676 lui Robert Hooke, savant englez cu renume în astronomie şi fizică: dacă am văzut mai departe, este pentru ca am stat pe umerii giganţilor.
Prin urmare, până a trece la subiectul discuţiei de azi – problema centrului şi a focarului – vom aminti de câteva teorii care, într-un fel sau altul, au contribuit la apariţia şi formularea acesteia acum 130 de ani de către Poincaré şi găsirea unei soluţii a ei abia acum, la Chişinău. De la Artur Cayley (1821-1895), Cambridge, Anglia, a pornit teoria invarianţilor. Marius Sophus Lie (1842-1899), Christiania, Norvegia, a elaborat teoria grupurilor şi algebrelor Lie – un nou gen de structură algebrică ce-i poartă numele – ambele fiind aplicate în diverse domenii ale ştiinţelor reale, inclusiv în geometrie şi în studiul ecuaţiilor diferenţiale. Henri Poincaré (1854-1912), Paris, Franţa, şi Alexandru Lyapunov (1857-1918), Sankt Petersburg, Rusia, au pus bazele metodelor teoriei calitative a ecuaţiilor diferenţiale. Constantin Sibirschi (1928-1990), Chişinău, Republica Moldova, a fondat teoria invarianţilor algebrici, care este aplicată în teoria calitativă a ecuaţiilor diferenţiale, neştiind că aceasta are ieşire la teoria lui Lie.
Dar cum şi cine a stabilit această legătură? În anul 1976, acad. Constantin Sibirschi, şef de laborator la Institutul de Matematică şi Informatică al AŞM, fondator al şcolii ştiinţifice de ecuaţii diferenţiale din Republica Moldova, a publicat monografia „Invarianţii algebrici a ecuaţiilor diferenţiale şi matricelor”, care a avut o rezonanţă mare în breasla matematicienilor din lume. Peste trei ani, în 1979, profesorul american C.S. Coleman a publicat o recenzie la această lucrare ştiinţifică, în care a specificat că ea este scrisă în spiritul cercetărilor matematicianului norvegian Marius Sophus Lie. În ce constau aceste investigaţii, nu era clar pentru matematicienii din Moldova, precum şi pentru alţii din lume. Cunoşteau doar că norvegianul a creat o direcţie nouă în cercetarea ecuaţiilor diferenţiale, dar care este tangenţa dintre ea şi cercetările din Moldova şi cum ar putea fi aplicate metodele lui Lie în practică, nu ştiau.
Matematicianul Mihail Popa, doctor habilitat, profesor universitar, discipol al acad. Constantin Sibirschi, a meditat mult asupra problemei stabilirii legăturii dintre teoria lui Lie şi teoria calitativă, care până la acel moment nu avea o tangenţă evidentă. Dânsul s-a convins în studiile sale că metodele lui Sophus Lie nu pot fi aplicate la cercetarea unor clase importante de ecuaţii diferenţiale ce au o mare importanţă pentru teorie şi practică. Pe de altă parte, la studierea acestor ecuaţii se utilizau cu succes metodele teoriei calitative, elaborate de francezul Henri Poincaré şi rusul Alexandru Lyapunov, completate şi dezvoltate de metoda invarianţilor algebrici a moldoveanului Constantin Sibirschi. Abia peste aproape două decenii, în 1998, a identificat această tangenţă şi a demonstrat că graţie investigaţiilor şi rezultatelor ştiinţifice ale acad. C. Sibirschi a devenit posibilă aplicarea pe larg a teoriei lui Lie în cercetarea acestor ecuaţii.
Lucrările lui Mihail Popa de la 1998 încoace prezintă debutul unor cercetări importante într-un domeniu nou, teoria grupurilor şi algebrelor Lie, fără de care astăzi este de neimaginat matematica modernă, ba chiar şi fizica. Noua direcţie ştiinţifică, plăzmuită în căutările lui de durată împreună cu discipolii săi, s-a transformat într-un ram viguros, pornit de la tulpina scolii ştiinţifice a acad. Constantin Sibirschi. Chiar şi unii colegi de ai sai (m.c. Nicolae Vulpe, m.c. Mefodie Raţiu) îi spuneau cu bunăvoinţă şi sinceritate în culoare că acesta a iniţiat o direcţie nouă în matematică. Odată, Nicolae Vulpe i-a adus la cunoştinţă aprecierea unui cunoscut matematician de la Universitatea din Montreal (Canada), a prof. Dana Shlomiuk, cu care colaborează de mai mulţi ani, că dacă cineva se ocupă de teoria lui Lie, acesta este destoinic de a fi stimat, deoarece materia respectivă nu li se dă la toţi. Dar dacă cercetătorul în aceste studii mai obţine şi rezultate, atunci este destoinic de o dublă stimă şi apreciere.
Profesorul a atras în cercul de cercetări din acest domeniu şi pe alţi împătimiţi de ştiinţă tineri matematicieni, care astăzi activează în institut sau în universităţi. 6 din 7 doctori în ştiinţe fizico-matematice, crescuţi şi menajaţi de profesorul Mihail Popa, au avut ca teme ştiinţifice diverse aspecte ale aplicării algebrelor Lie în cercetarea ecuaţiilor diferenţiale. Prin urmare, aceştia vorbesc de la catedrele universitare deja altor tineri despre ştiinţa matematică în evoluţie, inclusiv, despre taina ce-i leagă pe doi mari matematicieni ai lumii – norvegianul Marius Sophus Lie şi moldoveanul Constantin Sibirschi, dar care, trăind în secole diferite, nu s-au intersectat niciodată. Îi nominalizăm pe dr. Andrei Braicov, decan al Facultăţii de fizică şi matematică a Universităţii de Stat din Tiraspol cu sediul la Chişinău; dr. Sergiu Port, şef al Catedrei de matematică a Universităţii Pedagogice de Stat „I. Creangă”; dr. Natalia Gherştega, ex-şef al Laboratorului ecuaţii diferenţiale al Institutului de Matematică şi Informatică al AŞM, în prezent, titulara unor cursuri de matematică pentru funcţionarii de la ProCredit Bank – a câştigat concursul pentru funcţia respectivă dintr-o 100 de pretendenţi; dr. Elena Naidenova, profesor la un colegiu din Montreal, Canada şi dr. Oxana Diaconescu – profesor la o Universitate din acelaşi oraş canadian. După cum vedem, tinerii matematicieni talentaţi din Moldova sunt solicitaţi peste hotare, cu atât mai mult că competenţa lor profesională este atestată de grad ştiinţific. Nu l-am nominalizat pe primul doctor al prof. Mihail Popa – Pavel Macari, actualmente director al Liceului „C. Sibirschi” din Chişinău, unde, de asemenea, se plăzmuiesc viitoarele talente, viitorii matematicieni. În prezent, încă două persoane sub conducerea prof. M. Popa – Victor Orlov şi Victor Pricop – finisează lucrul asupra pregătirii tezelor de doctorat.
Prof. Mihail Popa a publicat 95 de lucrări ştiinţifice, inclusiv 2 monografii (1 în România) privind aplicaţiile algebrelor la sisteme diferenţiale, precum şi un manual pentru masteranzi cu o tematică similară. Rezultatele ştiinţifice ale profesorului Mihail Popa şi discipolilor săi sunt bine cunoscute şi înalt apreciate de comunitatea ştiinţifică internaţională.
Cercetările savantului moldovean au atras în orbita acestor interese mulţi savanţi de peste hotare din domeniile ecuaţiilor diferenţiale şi algebrei. Relaţiile de colaborare, stabilite cu specialişti de la Universitatea din Limoges (Franţa), Universitatea din Minsk (Belarusi), Universitatea din Piteşti (România), Centrul de cercetări în matematică din Montreal (Canada), Universitatea din Lund (Suedia), Institutul de Matematică al Academiei Române, Universitatea de Stat „M.V. Lomonosov” din Moscova, Rusia, mărturisesc concludent despre importanţa acestor investigaţii.
Între centru şi focar … frământări de peste un secol
Acum mai bine de patru ani am redactat şi pregătit pentru tipar un articol de memorii, întitulat „O viaţă zbuciumată între centru şi focar", semnat de Ana Sibirschi, soţia regretatului matematician, acad. Constantin Sibirschi („Literatura şi Arta” din 11 decembrie 2008). Atunci, din prima sursă, am aflat despre frământările şi căutările unui savant în identificarea adevărului ştiinţific. La acel moment, fondatorul şcolii ştiinţifice în domeniul teoriei calitative a ecuaţiilor diferenţiale era preocupat de elaborarea teoriei invarianţilor algebrici pentru aplicarea lor la rezolvarea problemelor ce ţin de teoria calitativă a ecuaţiilor diferenţiale. Una din problemele faimoase ale teoriei calitative este Problema Centrului şi Focarului, formulată de Henri Poincaré. Ea constă în determinarea invarianţilor care deosebesc centrul (traiectoriile, ce înconjoară punctul singular din originea de coordonate, sunt închise) de focar (traiectoriile, ce înconjoară acelaşi punct singular, sunt în formă de spirală) a sistemelor de ecuaţii diferenţiale polinomiale cu omogenităţi neliniare. Teoria calitativă a ecuaţiilor diferenţiale a fost creată de Poincaré în anii 1880-1882. Savantul a arătat că şi în cazul când ecuaţia diferenţială nu se rezolvă explicit, se poate de determinat caracterul comportării soluţiilor (curbelor integrale) şi a propus o clasificare a punctelor singulare ale soluţiilor: şa, focar, centru, nod. Dar problema deosebirii acestora, fără cunoaşterea explicită a soluţiilor s-a dovedit a fi foarte complicată.
Amintindu-şi de acele vremuri, prof. Mihail Popa a mărturisit: „N-am crezut niciodată că mă voi ocupa cândva de problema centrului şi a focarului. Dar după ce am stabilit legătura între algebrele Lie şi algebrele graduate ale invarianţilor lui Sibirschi, am înţeles că se deschide calea spre soluţionarea acestei probleme, formulată de Henri Poincare cu 130 de ani în urmă”. Problemei centrului şi a focarului i-au fost consacrate până acum mii de lucrări în diverse centre ştiinţifice ale lumii (Franţa, Rusia, Belarus, China, Marea Britanie, Canada, SUA etc.). Doar în Republica Moldova numărul acestora se apropie de 100. La diferite etape mai mulţi elevi ai lui Sibirschi au atacat problema dată (m.c. Nicolae Vulpe, prof. Alexandru Şuba, dr. Iurie Calin, dr. Valeriu Baltag, dr. Dumitru Cozma s.a.), obţinând rezultate importante, dar pentru sisteme diferenţiale speciale. Au abordat problema respectivă şi alţi specialişti de la IMI al AŞM, UTM, USM, UST – cunoscute instituţii de cercetare şi educaţie din Republica Moldova.
Matematicianul Mihail Popa a mers pe propria cale, pornind de la stabilirea legăturii între algebrele Lie şi algebrele graduate ale invarianţilor lui Sibirschi – instrument de lucru în căutările ulterioare. În contextul dat, vom face unele precizări: calea de rezolvare a problemei centrului şi a focarului a fost iniţial trasată de matematicianul rus Alexandru Lyapunov. Însă aplicând metoda acestuia chiar şi pentru cele mai simple sisteme diferenţiale, te confruntai cu nişte calcule enorme, ce nu puteau fi depăşite nici cu ajutorul celor mai moderne calculatoare. De aceea cercetătorul moldovean a luat ca bază problema generalizată a centrului şi a focarului pentru sistemele diferenţiale menţionate, evitând calcularea mărimilor Lyapunov pentru fiecare sistem în parte. La estimarea acestor numere a aplicat metodele algebrelor Lie si algebrelor graduate ale invarianţilor, precum şi funcţiile generatoare şi seriile Hilbert ale ultimilor algebre. Ca rezultat, s-a obţinut o estimaţie numerică finită pentru mărimile Lyapunov algebric independente, ce participă la rezolvarea problemei centrului şi a focarului pentru orice sistem de ecuaţii diferenţiale polinomial.
Acest lucru permite prof. Mihail Popa şi discipolilor săi să înainteze pentru prima dată o ipoteză argumentată, potrivit căreia aceste numere găsite formează hotarul finit de sus a numărului de mărimi Lyapunov ce rezolvă completamente problema generalizată a centrului şi focarului pentru fiecare sistem diferenţial polinomial în parte.
Recent cunoscutul matematician Anton Sadovski, profesor la Universitatea din Minsk, care, la rândul său, întreaga sa viaţă se ocupă de această problemă, l-a felicitat cordial pe colegul său, Mihail Popa, cu acest succes răsunător. Dânsul a aflat despre soluţionarea problemei generalizate a centrului şi focarului de la discipolul dlui Popa, Victor Pricop, împuternicit să prezinte acest rezultat la cea de a XV-a Conferinţă ştiinţifică internaţională în domeniul ecuaţiilor diferenţiale, ce s-a întrunit în luna mai anul curent la Hrodna, Belarusi. Savanţii din lume, prezenţi la eveniment, au rămas frapaţi de această realizare, aprobând rezultatele cercetătorilor de la Chişinău. Apropo, teza de doctorat, elaborată de Victor Pricop, ţine anume de soluţionarea aceste faimoase probleme, formulată cu un secol şi ceva în urmă de Poincare. Felicitări cordiale a mai primit matematicianul Mihail Popa şi din alte centre ştiinţifice ale lumii, inclusiv de la colegii de breaslă din Chişinău. Este semnificativ faptul că această bucurie mare a coincis cu aniversarea a 65-ea a Domniei sale.
Mihail Popa s-a născut în primii ani de după război, la 15 mai 1948, în satul Vălcineţ, raionul Călăraşi, o frumoasă localitate din zona Codrilor. Şcoala de 8 ani a absolvit-o în satul vecin Temeleuţi, unde şi-a petrecut copilăria, apoi şi-a continuat studiile la şcoala medie nr.1 din Călăraşi, în care se făcea carte serioasă. În copilărie a scris versuri, le-a publicat în ziarul „Tânărul leninist”, redactat pe atunci de poetul Liviu Damian (actuala formulă a acestei ediţii este „Florile dalbe”). Savantul mai păstrează şi astăzi corespondenţa cu redactorul-şef, care îi recenza scrierile şi îi încuraja expresia poetică a cugetărilor.
Desigur, se vedea Mihail în viitor jurnalist sau jurist, dar nici de cum matematician. Viaţa, însă a operat corective surprinzătoare în destinul său: a devenit savant notoriu în domeniul matematicii, având doi mentori care l-au marcat profund – academicienii Constantin Sibirschi şi Vladimir Andrunachievici. Ambele teze de doctorat, susţinute de cercetător (Universitatea din Nijnii Novgorod, Rusia, 1979; Institutul de Matematică al Academiei Naţionale de Ştiinţe a Ucrainei, Kiev, 1992), vizează metoda invarianţilor algebrici în teoria calitativă a ecuaţiilor diferenţiale, pe care a dezvoltat-o şi de la care a pornit o nouă şcoala ştiinţifică Algebrele Lie şi sisteme diferenţiale, pe care o ctitoreşte cu grijă şi în prezent. Ultimul rezultat – soluţionarea problemei generalizate a centrului şi focarului – vine să încununeze o biografie ştiinţifică excepţională a matematicianului Mihail Popa. Societatea noastră, în pofida divergenţelor politice şi instabilităţii economice, care actualmente numai la savanţi nu se gândeşte, ar trebui să-şi cunoască eroii, pe acei ce fac un nume de referinţă ţării pe meridianele lumii.
------------------------------------
Academician Mitrofan CIOBANU
Preşedintele Societăţii de Matematică din R. Moldova
Doctor habilitat Svetlana COJOCARU,
Directorul Institutului de Matematică şi Informatică al AŞM
Doctor habilitat Alexandru ŞUBĂ
Vicedirector Institutului de Matematică şi Informatică al AŞM
Tatiana ROTARU
jurnalistă
Chişinău, Republica Moldova
1 august 2013